Hoạt động 2
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M, N bất kì thuộc a và gọi A, B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).
Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).
- Nếu đường thẳng a song song với (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a.
- Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật.
Ta có \(MA \bot \left( P \right)\) (A là hình chiếu của M trên (P))
\(NB \bot \left( P \right)\) (B là hình chiếu của N trên (P))
\( \Rightarrow \) MA // NB \( \Rightarrow \) 4 điểm M, A, B, N đồng phẳng
\(\left. \begin{array}{l}\left( {AMNB} \right) \cap \left( P \right) = AB\\a//\left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a//AB\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác AMNB là hình bình hành.
Mà \(MA \bot AB\left( {MA \bot \left( P \right)} \right)\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác AMNB là hình chữ nhật nên MA = NB
Vậy M, N có cùng khoảng cách đến (P).
Hoạt động 3
a) Cho hai đường thẳng m và n song song với nhau. Khi một điểm M thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm M thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ M đến (Q) thay đổi thế nào khi M thay đổi.
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).
a) Khi một điểm M thay đổi trên đường thẳng m, khoảng cách từ M đến đường thẳng n không thay đổi vì m // n.
b) Vì (P) // (Q) nên các đường thẳng trên mặt (P) đều song song với (Q).
Dựa vào kết quả của hoạt động 2 ta có khi một điểm M thay đổi trên mặt phẳng (P), khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) không thay đổi.
Câu hỏi 1
Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) song song với (P) thì giữa d(a, (Q)) và d((P),(Q)) có mối quan hệ gì?
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).
Gọi M là 1 điểm thuộc a mà a thuộc (P) nên M thuộc (P)
+) a // (Q) nên d(a, (Q)) = d(M, (Q))
+) (P) // (Q) nên d((P),(Q)) = d(M,(Q))
\( \Rightarrow \) d(a, (Q)) = d((P),(Q))
Luyện tập 2
Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Tính d((MNP),(ABC)) và d(NP,(ABC)).
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B và AB = a. Tính d(A,(SBC)).
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).
a) +) Xét tam giác SBC có
N, P lần lượt là trung điểm SB, SC
\( \Rightarrow \) PN là đường trung bình tam giác SBC
\( \Rightarrow \) PN // BC \( \Rightarrow \) PN // (ABC)
+) Xét tam giác SAB có
N, M lần lượt là trung điểm SB, SA
\( \Rightarrow \) MN là đường trung bình tam giác SAB
\( \Rightarrow \) MN // AB
+) \(\left. \begin{array}{l}PN//BC,MN//AB\\PN \cap MN = \left\{ N \right\},BC \cap AB = \left\{ B \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \) d((MNP), (ABC)) = d(M, (ABC)) = MA \( = \frac{{SA}}{2} = \frac{h}{2}\) do SA \( \bot \) (ABC)
+) PN // (ABC) \( \Rightarrow \) d(NP,(ABC)) = d(N,(ABC)) = d(M,(ABC))\( = \frac{h}{2}\) (do MN // (ABC))
b)
Ta có \(SA \bot BC,AB \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)
\(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\)
(SAB): kẻ \(AH \bot SB\)
\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow \) d(A,(SBC)) = AH
Xét tam giác SAB vuông tại A có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2} + {h^2}}}{{{h^2}{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\)
Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\)
Vận dụng
Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng 150 so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không?
Tính cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối
Gọi B là một điểm nằm trên thanh ngang và H là hình chiếu vuông góc xuống mặt dốc.
Vì dốc nghiêng 150 so với phương nằm ngang nên nên góc giữa cột và mặt phẳng dốc bằng 750
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng dốc là \(BH = 2,28.\sin {75^0} \approx 2,2\left( m \right).\)
Do đó không cho phép xe cao 2,21 m đi qua.