Cho các điểm \(A,B,C\) có toạ độ thoả mãn \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k ,\overrightarrow {OB} = 5\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k ,\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \). Tìm toạ độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành.
‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow A\left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {OB} = 5\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow {OB} = \left( {5;1; - 1} \right) \Rightarrow B\left( {5;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {2;8;3} \right)\end{array}\)
Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có:
\(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y - 1;z - 1} \right)\).
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y - 1 = 8\\z - 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 9\\z = 4\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {3;9;4} \right)\).