Bài 10 trang 80 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho các điểm A, B, C có toạ độ thoả mãn OA = i + j + k...

Cho các điểm $A,B,C$ có toạ độ thoả mãn $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k ,\overrightarrow {OB} = 5\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k ,\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 3\overrightarrow k$. Tìm toạ độ điểm $D$ để tứ giác $ABC{\rm{D}}$ là hình bình hành.

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$, ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.$.

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow A\left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {OB} = 5\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow {OB} = \left( {5;1; - 1} \right) \Rightarrow B\left( {5;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {2;8;3} \right)\end{array}$

Giả sử $D\left( {x;y;z} \right)$. Ta có:

$\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y - 1;z - 1} \right)$.

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y - 1 = 8\\z - 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 9\\z = 4\end{array} \right.$. Vậy $D\left( {3;9;4} \right)$.