Bài 11 trang 32 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho hàm số y = x^2 + 2x - m/x - 1 (m là tham số)...

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - m}}{{x - 1}}$ ($m$ là tham số).

a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Chứng tỏ rằng khi $m = 2$, hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

‒ Để đồ hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Đạo hàm

$\begin{array}{l}y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình ${x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m

Vậy với \(m

b) Vì $m = 2$ thoả mãn điều kiện \(m

Với $m = 2$ hàm số có dạng: $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{x - 1}}$

Đạo hàm $y’ = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = 2$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${{y}_{CĐ}}=2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${y_{CT}} = 6$.

Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = ax + b$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\6 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2\end{array} \right.$

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = 2x + 2$.