Bài 2 trang 31 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho hàm số y = m - 1 x^3 + 2 m + 1 x^2 - x + m...

Cho hàm số $y = \left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - x + m - 1$ ($m$ là tham số).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = - 1$.

b) Tìm giá trị của $m$ để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ ${x_0} = - 2$.

Sơ đồ khảo sát hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

‒ Tìm đạo hàm $y’$, xét dấu $y’$, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

‒ Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số

‒ Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm),…

‒ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

‒ Vẽ đồ thị hàm số.

a) Với $m = - 1$, hàm số có dạng: $y = \left( { - 1 - 1} \right){x^3} + 2\left( { - 1 + 1} \right){x^2} - x - 1 - 1$ hay $y = - 2{x^3} - x - 2$.

1. Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y’ = - 6{{\rm{x}}^2} - 1

Do \(y’

Hàm số đã cho không có cực trị:

• Các giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( { - 2 - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( { - 2 - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = - \infty$.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 1;1} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( {1; - 5} \right)$.

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left( { - 2;0} \right)$.

b) $y’=3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x-1;y”=6\left( m-1 \right)x+4\left( m+1 \right)$

$y”=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}}\end{array} \right.$

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ $x = - 2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$.