Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số y = - {x^3} - 3{x^2} + mx + 1 có tâm đối xứng nằm trên trục Ox? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
‒ Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình y”=0.
‒ Để kết luận về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta dựa vào dấu của tung độ hai cực trị của phương trình y’ = 0.
y’=-3{{x}^{2}}-6x+m;y”=-6x-6;y”=0\Leftrightarrow x=-1
Advertisements (Quảng cáo)
Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số có tung độ y = - {\left( { - 1} \right)^3} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + 1 = - m - 1.
I nằm trên trục Ox \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1.
Khi m = - 1, hàm số có dạng y = - {x^3} - 3{x^2} - x + 1.
Khi đó y’ = - 3{x^2} - 6x - 1.
Phương trình y’ = 0 có biệt thức \Delta ‘ = {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 6 > 0. Do đó phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua I\left( { - 1;0} \right).
Do đó tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.