Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + mx + 1\) có tâm đối xứng nằm trên trục \(Ox\)? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
‒ Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình $y”=0$.
‒ Để kết luận về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta dựa vào dấu của tung độ hai cực trị của phương trình \(y’ = 0\).
\(y’=-3{{x}^{2}}-6x+m;y”=-6x-6;y”=0\Leftrightarrow x=-1\)
Advertisements (Quảng cáo)
Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số có tung độ \(y = - {\left( { - 1} \right)^3} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + 1 = - m - 1\).
\(I\) nằm trên trục \(Ox \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\).
Khi \(m = - 1\), hàm số có dạng \(y = - {x^3} - 3{x^2} - x + 1\).
Khi đó \(y’ = - 3{x^2} - 6x - 1\).
Phương trình \(y’ = 0\) có biệt thức \(\Delta ‘ = {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 6 > 0\). Do đó phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua \(I\left( { - 1;0} \right)\).
Do đó tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại 3 điểm phân biệt.