Bài 6 trang 80 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho hai vectơ a và b thoả mãn | a | = 2√ 3...

Cho hai vectơ $\overrightarrow {\rm{a}}$ và $\overrightarrow {\rm{b}}$ thoả mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3$ và $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^ \circ }$. Tính độ dài của vectơ $3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b$.

‒ Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

‒ Tính ${\left( {3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b } \right)^2}$, sau đó tính $\left| {3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b } \right|$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {3\overrightarrow {\rm{a}} } \right)^2} - 2.3\overrightarrow {\rm{a}} .2\overrightarrow b + {\left( {2\overrightarrow b } \right)^2} = 9{\left( {\overrightarrow {\rm{a}} } \right)^2} - 12\overrightarrow {\rm{a}} .\overrightarrow b + 4{\left( {\overrightarrow b } \right)^2}\\ = 9{\left| {\overrightarrow {\rm{a}} } \right|^2} - 12\left| {\overrightarrow {\rm{a}} } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 9.{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 12.2\sqrt 3 .3.\cos {30^ \circ } + {4.3^2} = 36\end{array}$

Do đó $\left| {3\overrightarrow {\rm{a}} - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {36} = 6$.