Bài 7 trang 80 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho hai vectơ u = 2; - 1;2, v thoả mãn | v |...

Cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow v$ thoả mãn $\left| {\overrightarrow v } \right| = 1$ và $\left| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right| = 4$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v$.

‒ Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

‒ Tìm ${\left| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right|^2}$ để tính $\overrightarrow u .\overrightarrow v$, từ đó tính ${\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)^2}$, sau đó tính $\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right|$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} = 3\\{\left| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2} - 2.\overrightarrow u .\overrightarrow v + {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} \Leftrightarrow {4^2} = {3^2} - 2.\overrightarrow u .\overrightarrow v + {1^2} \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = - 3\\{\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2} + 2.\overrightarrow u .\overrightarrow v + {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = {3^2} + 2.\left( { - 3} \right) + {1^2} = 4 \Rightarrow \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| = \sqrt 4 = 2\end{array}$