Bài 8 trang 80 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho hai vectơ u, v thoả mãn | u | = 2...

Cho hai vectơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ thoả mãn $\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1$ và $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {60^ \circ }$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow v$ và $\overrightarrow u - \overrightarrow v$.

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.1.\cos {60^ \circ } = 1\\{\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2} - 2.\overrightarrow u .\overrightarrow v + {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = {2^2} - 2.1 + {1^2} = 3 \Rightarrow \left| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right| = \sqrt 3 \\\cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow v .\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right)}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v - {{\overrightarrow v }^2}}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right|}} = \frac{{1 - {1^2}}}{{1.\sqrt 3 }} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = {90^ \circ }\end{array}$