Bài 9 trang 32 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho hàm số y = x^2 + 2x - 2/x - 1 Tìm toạ độ giao điểm I của hai...

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}$

a) Tìm toạ độ giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

b) Với $t$ tuỳ ý $\left( {t \ne 0} \right)$, gọi $M$ và $M’$ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là ${x_M} = {x_I} - t$ và ${x_{M’}} = {x_I} + t$. So sánh các tung độ ${y_M}$ và ${y_{M’}}$.

Từ đó, suy ra rằng hai điểm $M$ và $M’$ đối xứng với nhau qua $I$.

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)$, nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty$

thì đường thẳng $x = {x_0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận xiên $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]$ hoặc

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]$

‒ Để chứng minh rằng hai điểm $M$ và $M’$ đối xứng với nhau qua $I$, ta chứng minh $I$ là trung điểm của $MM’$.

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) = + \infty$

Vậy ${\rm{x}} = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}} = 1$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{x - 1}} = 3$

Vậy đường thẳng $y = x + 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy $I\left( {1;4} \right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

b) Ta có: ${x_M} = {x_I} - t = 1 - t \Rightarrow {y_M} = \frac{{x_M^2 + 2{{\rm{x}}_M} - 2}}{{{{\rm{x}}_M} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 - t} \right)}^2} + 2\left( {1 - t} \right) - 2}}{{\left( {1 - t} \right) - 1}} = \frac{{ - {t^2} + 4t - 1}}{t}$

${x_{M’}} = {x_I} + t = 1 + t \Rightarrow {y_{M’}} = \frac{{x_{M’}^2 + 2{{\rm{x}}_{M’}} - 2}}{{{{\rm{x}}_{M’}} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 2\left( {1 + t} \right) - 2}}{{\left( {1 + t} \right) - 1}} = \frac{{{t^2} + 4t + 1}}{t}$

Vì:

$\begin{array}{l}{x_M} + {x_{M’}} = \left( {{x_I} - t} \right) + \left( {{x_I} + t} \right) = 2{x_I};\\{y_M} + {y_{M’}} = \frac{{ - {t^2} + 4t - 1}}{t} + \frac{{{t^2} + 4t + 1}}{t} = \frac{{\left( { - {t^2} + 4t - 1} \right) + \left( {{t^2} + 4t + 1} \right)}}{t} = 8 = 2{y_I}\end{array}$

nên $I$ là trung điểm của $MM’$.

Vậy hai điểm $M$ và $M’$ đối xứng với nhau qua $I$.