Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 1 trang 54 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho tứ diện...

Bài 1 trang 54 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho tứ diện ABCD, biết AB=BC=AC=BD=a, AD=b,...

Cho tứ diện ABCD, biết AB=BC=AC=BD=a, AD=b, . Bài 1 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Bài 1. Mặt cầu khối cầu

Cho tứ diện ABCD, biết AB=BC=AC=BD=a, AD=b, hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau.

a) Chứng minh rằng tam giác ACD vuông.

b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

a)

Gọi \(I\) là trung điểm của CD, do BC = BD = a nên \(BI \bot CD.\) Mặt khác \(mp\left( {BCD} \right) \bot mp\left( {ACD} \right)\) nên \(BI \bot mp(ACD).\)

Xét các tam giác vuông AIBDIB có cạnh góc vuông BI chung, BA = BD, từ đó AI = ID. Vậy ACD là tam giác vuông tại A.

Advertisements (Quảng cáo)

b)

Từ chứng minh trên, ta thấy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc BI, do đó, bán kính mặt cầu phải tìm chính là bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Dễ thấy CB2=BI.BB’=2R.BI, tức là \(R = {{{a^2}} \over {2BI}}.\)

Mặt khác

\(\eqalign{  & B{I^2} = B{C^2} - {{C{D^2}} \over 4} = {a^2} - {{{a^2} + {b^2}} \over 4} = {{3{a^2} - {b^2}} \over 4}  \cr  &  \Rightarrow BI = {1 \over 2}\sqrt {3{a^2} - {b^2}} ,0 < b < a\sqrt 3 . \cr} \)

Như vậy \(R = {{{a^2}} \over {\sqrt {3{a^2} - {b^2}} }},\)do đó diện tích mặt cầu phải tìm bằng \({{4\pi {a^4}} \over {3{a^2} - {b^2}}}\) với \(0 < b < a\sqrt 3 \).

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: