Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q) sao cho OO’ vuông góc với (P). Đặt OO’ = h. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua hai đường tròn trên, tính diện tích mặt cầu đó.
(h.48)
Giả sử R≤R′. Vì OO′⊥(P) nên mọi điểm thuộc OO’ cách đều các điểm của đường tròn (O;R), đồng thời cách đều các điểm của đường tròn (O’;R’),
Xét mp(R) qua OO’ và hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giao tuyến OA, O’A’, A∈(O;R),A′∈(O′;R′). Trong mp(R) , đường trung trực AA’ cắt OO’ tại J. Khi đó, mặt cầu tâm J, bán kính JA đi qua cả hai đường tròn (O;R) và (O’;R’).
Gọi S là diện tích mặt cầu đó thì
Advertisements (Quảng cáo)
S=4π.JA2=4π(OA2+JO2)=4π(R2+JO2).
Kẻ IH song song với AO(H∈OO′) thì OH=h2.
Từ OH+JH=JO, suy ra h2+JH=JO. Kẻ AK song song với OO’((K∈O′A′) thì có HJA′K=IHAK, từ đó
HJ = {{{{R’ + R} \over 2}.(R’ - R)} \over h} = {{R{‘^2} - {R^2}} \over {2h}}.
Vậy JO = {h \over 2} + {{R{‘^2} - {R^2}} \over {2h}} = {{{h^2} + R{‘^2} - {R^2}} \over {2h}} và diện tích mặt cầu phải tìm là
\eqalign{ & S = 4\pi \left[ {{R^2} + {{{{\left( {{h^2} + R{‘^2} - {R^2}} \right)}^2}} \over {4{h^2}}}} \right] \cr & = \pi .{{4{R^2}{h^2} + ({h^2} + R{‘^2} - {R^2})^2} \over {{h^2}}}. \cr}