Bài 14 trang 225 SBT Hình học lớp 12 Nâng Cao: Trong không gian Oxyz cho mp(P)...

Trong không gian Oxyz cho mp(P) $:x + 2y{\rm{ }} - {\rm{ }}z + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ và đường thẳng

                                       $d:{{x + 1} \over 2} = y + 1 = z - 3.$

1. Tim toạ độ giao điểm A của d và (P).

2. Tính góc $\alpha$ giữa đường thẳng d và mp(P).

3. Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mp(P).

4. Viết phương trình hình chiếu vuông góc d’ của d trên mp(P).

5. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P)  chứa A và vuông góc với đường thẳng d.

6. Viết phương trình mặt cầu có tâm I nằm trên đường thẳng d, tiếp xúc với mp(P) và có bán kính $R = \sqrt 6 .$

7. Viết phương trình mp(R) chứa đường thẳng d và tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất.

1. Phương trình tham số của d: $\left\{ {\matrix{   {x = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2t} \hfill  \cr   {y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + t} \hfill  \cr   {z{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }} + t.} \hfill  \cr  } } \right.$

Toạ độ giao điểm A của đường thẳng d với mp(P) thoả mãn hệ :

$\left\{ {\matrix{   {x =  - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2t} \hfill  \cr   {y{\rm{ }} =  - 1{\rm{ }} + t} \hfill  \cr   {\;z = {\rm{ }}3{\rm{ }} + t} \hfill  \cr   {x{\rm{ }} + 2y - z + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill  \cr  } } \right.$

$\Rightarrow t = {1 \over 3} \Rightarrow A = \left( { - {1 \over 3}; - {2 \over 3};{{10} \over 3}} \right).$

2. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng d và mp(P). d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} (2;1;1),$ (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_p}} (1;{\rm{ }}2;{\rm{ }} - {\rm{ }}1)$ nên

$\sin \alpha  = {{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = {{\left| {2 + 2 - 1} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}={1 \over 2}$

$\Rightarrow \alpha  = {30^ \circ }.$

3. Vì (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mp(P) nên mp(Q) chứa điểm $\left( { - 1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right) \in d$ và có vectơ pháp tuyến là

                  $\left[ {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = {\rm{ }}\left( { - 3{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right)$

Suy ra phương trình mp(Q) là: $x - y - z + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

4. d‘ chính là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Vì vậy, điểm $(x{\rm{ }};{\rm{ }}y;{\rm{ }}z) \in d’$ khi và chỉ khi $\left( {x;y;z} \right)$ thoả mãn hệ

     $\left\{ {\matrix{   {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill  \cr   {x - y - z + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0,} \hfill  \cr  } } \right.$

hay d‘ có phương trình tham số là :

               $\left\{ \matrix{  x =  - {{11} \over 3} + t \hfill \cr  y =  - {2 \over 3} \hfill \cr  z = t. \hfill \cr}  \right.$

5. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong mpc(P), đi qua điểm $A\left( { - {1 \over 3}; - {2 \over 3};{{10} \over 3}} \right)$ và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó, $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)$ nên $\Delta$ có phương trình chính tắc là

                             ${{x + {1 \over 3}} \over { - 1}} = y + {2 \over 3} = z - {{10} \over 3}.$

6. Vì $I \in d$ nên $I = {\rm{ }}\left( { - 1 + 2t; - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}t;3 + {\rm{ }}t} \right).$

Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mp(P) và có bán kính $R{\rm{ }} = \sqrt 6$. Và khi và chỉ khi $d\left( {I,\left( P \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt 6$ hay

                          ${{\left| { - 1{\rm{ }} + 2t{\rm{ }} - 2{\rm{ }} + 2t{\rm{ }} - 3{\rm{ }} - t{\rm{ }} + 5} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {\rm{ }}{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 6$

$<  =  > \left| {3t - 1} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \Rightarrow \left[ \matrix{  3t - 1 = 6 \hfill \cr  3t - 1 =  - 6 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left[ \matrix{  t = {7 \over 3} \hfill \cr  t =  - {5 \over 3} \hfill \cr}  \right.$

$\Rightarrow \left[ \matrix{  I = \left( {{{11} \over 3};{4 \over 3};{{16} \over 3}} \right) \hfill \cr  I = \left( { - {{13} \over 3};{{ - 8} \over 3};{4 \over 3}} \right). \hfill \cr}  \right.$

Vậy có hai mặt cầu thoả mản yêu cầu đặt ra là:

$\left( {{S_1}} \right):{\left( {x - {{11} \over 3}} \right)^2} + {\left( {x - {4 \over 3}} \right)^2} + {\left( {x - {{16} \over 3}} \right)^2} = 6,$

$\left( {{S_2}} \right):{\left( {x + {{13} \over 3}} \right)^2} + {\left( {x + {8 \over 3}} \right)^2} + {\left( {x - {4 \over 3}} \right)^2} = 6.$

7. Cách 1. Ta tìm hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d.

Cho t = 0, ta được $M( - 1;{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}3) \in d,{\rm{ }}t = {\rm{ }}1,$ ta được $N\left( {{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right) \in d.$

Giả sử mặt phẳng (R) cần tìm có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 với ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0.$

Vì M, N $\in$ mp(R)

            $\left\{ \matrix{   - A - B + 3C + D = 0 \hfill \cr  A + 4C + D = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  C =  - (2A + B) \hfill \cr  D = {\rm{ }}7A{\rm{ }} + {\rm{ }}4B. \hfill \cr}  \right.$

Do đó $\overrightarrow {{n_R}}  = {\rm{ }}\left( {A{\rm{ }};{\rm{ }}B; - 2A - {\rm{ }}B} \right).$

Ta có $\overrightarrow {{n_P}}  = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};2; - 1} \right).$

Gọi $\varphi$ góc giữa hai mặt phẳng (R) và (P) $(0^\circ  \le \varphi  \le 90^\circ )$ thì:

      $\cos \varphi  = {{\left| {A + 2B + 2A + B} \right|} \over {\sqrt 6 \sqrt {{A^2} + {B^2} + {{\left( {2A + B} \right)}^2}} }} = {3 \over {\sqrt 6 }}{{\left| {A + B} \right|} \over {\sqrt {5{A^2} + 2{B^2} + 4AB} }}.$

Trường hợp A + B = 0, ta có $\varphi$ = 90° là góc lớn nhất trong các góc có thể có giữa hai mặt phẳng (P) và (R), loại.

Trường hợp $A + B \ne 0$, ta có

$\cos \varphi  = {3 \over {\sqrt 6 }}\sqrt {{{{{\left( {A + B} \right)}^2}} \over {2{{\left( {A + B} \right)}^2} + 3{A^2}}}}$

           $= {3 \over {\sqrt 6 }}\sqrt {{1 \over {2 + 3{{\left( {{A \over {A + B}}} \right)}^2}}}}  \le {3 \over {\sqrt 6 }}.\sqrt {{1 \over 2}}  = {{\sqrt 3 } \over 2},$

suy ra $\varphi  \ge 30^\circ .$

Dấu = xảy ra khi A = 0. Khi đó B $\ne$ 0 (vì nếu B = 0 thì C = 0, vô lí).

Ta chọn B = 1 thì $C =  - (2A + B) =  - 1,D{\rm{ }} = {\rm{ }}7A{\rm{ }} + {\rm{ }}4B{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }}.$

Vậy mp(R) chứa đường thẳng d và tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất (bằng 30°) có phương trình là :

                                 $y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} + 4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

Cách 2. (h. 117)

Xét mặt phẳng (Q) thay đổi đi qua đường thẳng d, cắt mp(P) theo giao tuyến $\Delta ‘.$  Vì $A{\rm{ }} = {\rm{ }}d{\rm{ }} \cap {\rm{ }}\left( P \right)$ nên $A{\rm{ }} \in \Delta ‘$.

Lấy một điểm K cố định trên d (K$\ne$A). Gọi H là hình chiếu của K trên mp(P), I là hình chiếu của H trên $\Delta$’ thì HI và KI cùng vuông góc với $\Delta$’

nên  là góc giữa mp(P) và mp(Q).

Ta có tan  mà KH không đổi khi (Q) thay đổi và $HI \le HA$ nên

 nhỏ nhất <=> tan nhỏ nhất <=> HI lớn nhất <=> I trùng A hay $\Delta ‘ \bot d$ tại A, tức là $\Delta$’ trùng $\Delta$ ($\Delta$ nói ở câu 5).

Vậy mp(R) chứa đường thẳng d và tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất khi và chỉ khi mp(R) chứa d và $\Delta$ ($\Delta$ nằm trên (P), đi qua A và vuông góc với d.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {0; - {\rm{ }}3;3} \right)$ nên (R) có vectơ pháp tuyến là $\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right).$

Vì mp(R) đi qua $A\left( { - {1 \over 3}; - {2 \over 3};{{10} \over 3}} \right)$ nên có phưomg trình là

               $y + {2 \over 3} - \left( {z - {{10} \over 3}} \right) = 0$ hay $y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$