Bài 15 trang 226 SBT Hình 12 Nâng Cao: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt...

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt phẳng

(P):x+y+z-7=0.

1. Viết phương trình đường thẳng AB.

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).

3. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) và mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B.

4. Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.

5. Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB ($K \ne B$) sao cho

d(K,(P))=d(B,(P)).

6. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

1. Đường thẳng AB đi qua $A\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right),$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;{\rm{ }} - {\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)$ nên có phương trình :

                         $\left\{ {\matrix{   {x{\rm{ }} = {\rm{ }}3 - 3t} \hfill  \cr   {y{\rm{ }} = {\rm{ }}3 - t} \hfill  \cr   {z{\rm{ }} = {\rm{ }}1.} \hfill  \cr  } } \right.$

2. Ta nhận thấy A $\in$ mp(P) nên hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P) là đường thẳng AH, trong đó H là hình chiếu của điểm B trên mp(P).

Đường thẳng BH qua $B\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)$ và vuông góc với mp(P) nên có phương trình

                       $\left\{ {\matrix{   {x{\rm{ }} = {\rm{ }}t} \hfill  \cr   {y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}t} \hfill  \cr   {z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}t.} \hfill  \cr  } } \right.$

Do đó toa độ $\left( {x;y;z} \right)$ của điểm H thoả mãn hệ: $\left\{ {\matrix{   {x{\rm{ }} = {\rm{ }}t} \hfill  \cr   {y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}t} \hfill  \cr   \matrix{  z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}t \hfill \cr  x + y + z - 7 = 0. \hfill \cr}  \hfill  \cr  } } \right.$

Giải hệ ta được $t = {4 \over 3} \Rightarrow H = \left( {{4 \over 3};{{10} \over 3};{7 \over 3}} \right)$.

Phương trình đường thẳng AH là

$\left\{ {\matrix{   {{\rm{x }} = 3 + 5t} \hfill  \cr   {\;y = 3-t} \hfill  \cr   {\;z = 1 - 4t.} \hfill  \cr  } } \right.$

3. Đường thẳng d nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng trung trực ($\pi$) của đoạn AB. Gọi I  là trung điếm AB, ta có$I = \left( {{3 \over 2};{5 \over 2};1} \right).$

Mặt phẳng ($\pi$) đi qua I  và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {BA}  = \left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)$ nên có phương trình :              $\left( \pi  \right):3x + y - 7 = 0.$

Vậy d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và ($\pi$). Do đó d có phương trình : 

                            $\left\{ {\matrix{   {{\rm{x  =  }}t} \hfill  \cr   \matrix{  y = 7 - 3t \hfill \cr  z = 2t. \hfill \cr}  \hfill  \cr  } } \right.$

4. Vì $AB \bot mp(\pi )$ và $d \subset mp(\pi )$nên nếu trong $mp(\pi )$, kẻ đường thẳng IM vuông góc với $d(M \in d)$ thì IM chính là đường vuông góc chung của AB và d.

Ta có $M = (t;7 - 3t;2t)$

$\Rightarrow \overrightarrow {IM}  = \left( {t - {3 \over 2};{9 \over 2} - 3t;2t - 1} \right).$

Đường thẳng d  có vec tơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}}  = (1; - 3;2).$

$IM \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Leftrightarrow t = {{17} \over {14}}$

$\Rightarrow \overrightarrow {IM}  = \left( { - {4 \over {14}};{{12} \over {14}};{{20} \over {14}}} \right)$

Vậy đường vuông góc chung của AB và d là đường thẳng qua I và có vec tơ chỉ phương ${{14} \over 4}\overrightarrow {IM}  = ( - 1;3;5),$ đường thẳng đó có phương trình :

$\left\{ \matrix{  x = {3 \over 2} - t \hfill \cr  y = {5 \over 2} + 3t \hfill \cr  z = 1 + 5t. \hfill \cr}  \right.$

5. Cách 1. $K \in AB \Rightarrow K = (3 - 3t;3 - t;1).$

$\eqalign{  & d(K,(P)) = d(B,(P)) \cr&\Leftrightarrow {{\left| {3 - 3t + 3 - t + 1 - 7} \right|} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {0 + 2 + 1 - 7} \right|} \over {\sqrt 3 }}.  \cr  &  \Leftrightarrow \left| { - 4t} \right| = \left| { - 4} \right| \Leftrightarrow \left| t \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr  t =  - 1. \hfill \cr}  \right. \cr}$

Với t=1, K=(0;2;1) nên \(K \equiv B\((loại).

Với t=-1, K=(6;4;1).

Vậy K(6;4;1) là điểm phải tìm.

Cách 2. Vì $A \in (P)$ nên $d(K;(P)) = d(B,(P))$ khi và chỉ khi A là trung điểm của KB. Từ đó suy ra K=(6;4;1).

6. Với $C \in d$ thì ${S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.CI$, AB không đổi nên ${S_{ABC}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi IC nhỏ nhấ, tức C là hình chiếu của I trên d.

Vì $C \in d$ nên $C = (t;7 - 3t;2t)$, suy ra $\overrightarrow {IC}  = \left( {t - {3 \over 2};7 - 3t - {5 \over 2};2t - 1} \right)$

Ta có $IC \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0$

$\Leftrightarrow t - {3 \over 2} - 3\left( {7 - 3t - {5 \over 2}} \right) + 2(2t - 1) = 0$

$\Leftrightarrow t = {{17} \over {14}}.$

Vậy điểm C cần tìm là $C = \left( {{{17} \over {14}};{{47} \over {14}};{{34} \over {14}}} \right)$(chính là điểm M ở câu 4).