Bài 16 trang 8 SBT Hình học lớp 12 Nâng Cao: Cho phép vị tự V tâm O...

Cho phép vị tự V tâm O tỉ số $k \ne 1$ và phép vị tự V^’ tâm O^’ tỉ số k^’. Chứng minh rằng nếu kk^’=1 thì hợp thành của V và V^’ là một phép tịnh tiến.

Với mỗi điểm M, ta lấy M₁ sao cho $\overrightarrow {O{M_1}}  = k\overrightarrow {OM}$rồi lấy điểm M^’ sao cho $\overrightarrow {{O’}M’}  = {k’}\overrightarrow {{O’}{M_1}}$ thì hợp thành V và V^’ biến điểm M thành M^’.

Ta có:

$\eqalign{  & \overrightarrow {M{M’}}  = \overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}{M’}} \cr& =\overrightarrow {O{M_1}}  - \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {{O’}{M’}}  - \overrightarrow {{O’}{M_1}}   \cr  &  = \overrightarrow {O{M_1}}  - {1 \over k}\overrightarrow {O{M_1}}  + {k’}\overrightarrow {{O’}{M_1}}  - \overrightarrow {{O’}{M_1}}   \cr  &  = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}}  + \left( {{k’} - 1} \right)\overrightarrow {{O’}{M_1}}   \cr  &  = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}}  + \left( {1 - {k’}} \right)\overrightarrow {{M_1}{O’}} . \cr}$

Chú ý rằng vì kk^’=1 nên ${k’} = {1 \over k}$, bởi vậy đẳng thức trên trở thành :

$\overrightarrow {M{M’}}  = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\left( {\overrightarrow {O{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}{O’}} } \right) = {{k - 1} \over k}\overrightarrow {O{O’}} .$

Từ đó suy ra hợp thành của V và V^’ là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v  = {{k - 1} \over k}\overrightarrow {O{O’}}$.