Bài 26 trang 59 Sách bài tập Toán Hình 12 NC: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’...

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, cạnh bên ${{5a} \over 2}$; chiều cao hình lăng trụ bằng h.

1) Chứng minh rằng có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

2) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đó.

1) Vì hình lăng trụ đã cho là hình lăng trụ đứng nên chỉ cần chứng minh đáy ABCD có đường tròn nội tiếp.

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì ${\rm{IJ}} \bot AB,IJ \bot CD.$ Gọi O là trung điểm của IJ thì $OI = {\rm{OJ}} = {{{\rm{IJ}}} \over 2}.$ Kẻ $BH \bot CD.$

Ta có ${\rm{IJ}} = BH = \sqrt {B{C^2} - H{C^2}}$

               $= \sqrt {{{25{a^2}} \over 4} - {{\left( {2a - {a \over 2}} \right)}^2}}  = 2a.$

Vậy OI = OJ = a.

Mặt khác $O{B^2} = O{I^2} + I{B^2}$

               $\eqalign{  & \;\;\;\;\;\;\;\; = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4},  \cr  & O{C^2} = {\rm{O}}{{\rm{J}}^2} + J{C^2}  \cr  &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;= {a^2} + 4{a^2} = 5{a^2}, \cr}$

từ đó ta có $B{C^2} = O{B^2} + O{C^2}.$

Kẻ đường cao OK của tam giác vuông OBC thì OK.BC = OB.OC, suy ra

$OK = {{{{a\sqrt 5 } \over 2}.a\sqrt 5 } \over {{{5a} \over 2}}} = a.$

Vậy O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang cân ABCD.

Vậy hình trụ có trục OO’ ( O, O’ là tâm hai đường tròn đáy) và bán kính đáy bằng a chính là hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

2) Diện tích toàn phần của hình trụ đó là

$S = 2\pi {a^2} + 2\pi ah = 2\pi a(a + h)$

Và thể tích hình trụ đó là

$V = \pi {a^2}h.$

Chú ý. Có thể giải thích ABCD có đường tròn nội tiếp bởi điều kiện

AB + CD = BC + AD.