Xét hình trụ nội tiếp một mặt cầu bán kính R mà diện tích thiết diện qua trục hình trụ là lớn nhất. Tính :
1) Thể tích V và diện tích toàn phần Stp của hình trụ.
2) Thể tích hình lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ và thể tích hình lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ.
3) Diện tích thiết diện của hình trụ khi cắt bởi một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng R2.
Gọi O’ là trung điểm của trục O1O của hình trụ thì O’ là tâm mặt cầu đã cho. Kí hiệu h và r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ thì diện tích thiết diện qua trục là Std=2r.h.
Mặt khác R2=O′A2=r2+h24⇒r2=R2−h24.
Từ đó Std=h√4R2−h2=√h2(4R2−h2).
Vậy Std lớn nhất khi và chỉ khi h=R√2.
Khi đó r=√R2−14.2R2=R√22=h2, tức là thiết diện qua trục là hình vuông.
1) V=πr2h=2πr2.r=2πr3=πR3√22.
Stp=2πr2+2πrh=3πR2.
Advertisements (Quảng cáo)
2)
∙ Dễ thấy diện tích đáy của hình lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ là n2r2sin2πn.
Vậy thể tích hình lăng trụ đó là:
Vlăng trụ=n2r2sin2πn.2r=nr3sin2πn=nR32√2sin2πn
∙ Xét đa giác đều n cạnh ngoại tiếp đường tròn đáy hình trụ thì độ dài cạnh của đa giác bằng 2rtanπn, từ đó diện tích đáy hình trụ là
{S_{đáy}} = n.{1 \over 2}2r.\tan {\pi \over n}.r = n{r^2}\tan {\pi \over n}.
Vậy thể tích hình lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ là
n{r^2}\tan {\pi \over n} \cdot 2r = 2n{r^3}.\tan {\pi \over n} = {{n{R^3}} \over {\sqrt 2 }}\tan {\pi \over n}
3) Giả sử thiết diện là MN{N_1}{M_1} thì MN{N_1}{M_1} là hình chữ nhật. Gọi I là trung điểm của MN thì
OI = {R \over 2} và IM = \sqrt {{r^2} - {{{R^2}} \over 4}} = \sqrt {{{{R^2}} \over 2} - {{{R^2}} \over 4}} = {R \over 2}.
Vậy diện tích thiết diện MN{N_1}{M_1} là
MN.N{N_1} = 2IM.h = R.R\sqrt 2 = {R^2}\sqrt 2 .