Bài 39 trang 124 Sách bài tập Toán Hình 12 NC: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm...

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀(1;2;4), cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho $OA = OB = OC \ne 0.$

Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M₀(1;2;4) có phương trình:

 $a(x-1)+b(y-2)+c(z-4)=0$            (1)

hay $ax+by+cz=a+2b+4c$ với $a + 2b + 4c \ne 0$ (theo giả thiết)

Từ đó, ta xác định được tọa độ các giao điểm A, B, C là:

$\eqalign{  & A = \left( {{{a + 2b + 4c} \over a};0;0} \right)\cr&B = \left( {0;{{a + 2b + 4c} \over b};0} \right)  \cr  & C = \left( {0;0;{{a + 2b + 4c} \over c}} \right) \cr}$

Vì OA = OB = OC nên $O{A^2} = O{B^2} = O{C^2},$ do đó ta có

${{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{a^2}}} = {{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{b^2}}} = {{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{c^2}}}$

Hay ${a^2} = {b^2} = {c^2}$. Có những trường hợp sau xảy ra:

+) Nếu a, b, c cùng dấu thì $a=b=c$ và phương trình (1) trở thành

$x+y+z-7=0$.

+) Nếu a, b cùng dấu và khác dấu với c thì $a=b=-c$. Phương trình (1) trở thành

$x+y-z+1=0$.

+) Nếu a, c cùng dấu và khác dấu với c thì $a=c=-b$. Phương trình (1) trở thành

$x-y+z-3=0$.

+) Nếu b, c cùng dấu và khác dấu với a thì $–a=b=c$. Phương trình (1) trở thành :

$-x+y+z-5=0$.