Bài 45 trang 63 Sách bài tập Toán Hình 12 NC: Cho tứ diện đều ABCD...

Gọi N là trung điểm của BC và J là giao điểm của NI với AD, khi đó mp(BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện  BCDJ và ABCJ.

Dễ thấy ${\rm{AJ = }}{1 \over 4}AD.$

Vì ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1} \bot mp(BCD)$ nên mọi điểm thuộc ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1}$ cách đều B,C, D. Khi đó, tâm O₁ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ là giao điểm của ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1}$ với đường trung trực của JD( xét trong mp(${\rm{A}}{{\rm{A}}_1}D$)).

Tương tự như trên, tâm O₂ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là giao của với đường trung trực của AJ ( xét trong mp(ADD₁))(DD₁ là đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện ABCD).

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của DJ và AJ. Xét tứ giác nội tiếp ${O_1}{A_1}DE$ (hình 89b), ta có

$\eqalign{  & AE.AD = A{O_1}{\rm{.A}}{{\rm{A}}_1}  \cr  &  \Rightarrow A{O_1} = {{AE.AD} \over {A{A_1}}}. \cr}$

Mặt khác

${\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},AE = {a \over 4} + {{3a} \over 8} = {{5a} \over 8}.$

Từ đó

$A{O_1} = {{5a.a} \over {8.{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{5a\sqrt 6 } \over {16}}.$

Và do đó ${A_1}{O_1} = {A_1}A - A{O_1}$

                           $= {{a\sqrt 6 } \over 3} - {{5a\sqrt 6 } \over {16}} = {{a\sqrt 6 } \over {48}}$

Vậy bán kính ${R_1}$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ  là

$\eqalign{  & R_1^2 = {O_1}{D^2} = {A_1}O_1^2 + {A_1}{D^2}\cr&\;\;\;\;\;\; = {{6{a^2}} \over {{{48}^2}}} + {{3{a^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{129.{a^2}} \over {48.8}}  \cr  &  \Rightarrow {R_1} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}. \cr}$

Từ giác ${O_2}{D_1}FA$ nội tiếp đường tròn nên

${\rm{D}}{{\rm{D}}_1}.D{O_2} = DF.DA \Rightarrow D{O_2} = {{DF.DA} \over {D{D_1}}}.$

Mặt khác

$DF = {{3a} \over 4} + {a \over 8} = {{7a} \over 8},DA = a,{\rm{D}}{{\rm{D}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},$ từ đó

$D{O_2} = {{{{7a} \over 8}.a} \over {{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{21a\sqrt 6 } \over {8.6}} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}}.$

Suy ra ${{\rm{D}}_1}{{\rm{O}}_2} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}} - {{a\sqrt 6 } \over 3} = {{5a\sqrt 6 } \over {48}}$ và do đó, bán kính ${R_2}$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là

$R_2^2 = {O_2}A_2^2 = {O_2}D_1^2 + {D_1}{A^2}$

       $= {{25{a^2}.6} \over {{{48}^2}}} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2}$

       $= {{25{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{153{a^2}} \over {48.8}},$

Từ đó ${R_2} = {{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }}.$ Vậy ${{{R_1}} \over {{R_2}}} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}:{{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }} = \sqrt {{{43} \over {51}}} .$