Advertisements (Quảng cáo)
a) Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng
\(\left( \alpha \right):x + y – z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha’ \right):x – y + z – 5 = 0.\)
b) Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\)
Xác định a, b, c để khoảng cách từ O tới mp(ABC) lớn nhất.
a) \(M \in Oy \Leftrightarrow M = (0;{y_0};0).\) Vậy :
\(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = {{\left| {{y_0} + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }},d\left( {M,\left( \alpha ‘ \right)} \right) = {{\left| { – {y_0} – 5} \right|} \over {\sqrt 3 }}.\)
Ta có \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {M,\left( {\alpha ‘} \right)} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| {{y_0} + 5} \right| \Leftrightarrow {y_0} = – 3.\)
Vậy điểm phải tìm là M(0;-3;0).
Advertisements (Quảng cáo)
b) Phương trình mặt phẳng (ABC) là : \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\)
\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| { – 1} \right|} \over {\sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} }}.\)
Theo bất đẳng thức Cô-si,ta có \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3\root 3 \of {{1 \over {{a^2}{b^2}{c^2}}}} \)
Và \(3 = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\root 3 \of {{a^2}{b^2}{c^2}} \)
Suy ra : \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow \sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} \ge \sqrt 3 .\)
Từ đó suy ra : \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) \le {1 \over {\sqrt 3 }}.\)
Dấu = xảy ra khi \({a^2} = {b^2} = {c^2} = 1\) hay \(a=b=c=1\).
Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)\) lớn nhất bằng \({1 \over {\sqrt 3 }}\) khi \(a=b=c=1\)