Câu 1.11 trang 12 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho hàm số...

Cho hàm số $f(x) = 2{x^2}\sqrt {x - 2}$

a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng ${\rm{[}}2; + \infty )$

b) Chứng minh rằng phương trình $2{x^2}\sqrt {x - 2}  = 11$ có một nghiệm duy nhất.

Giải      

a) Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng $\left[ {2; + \infty } \right).$  

$f(x) = 2\left( {2x\sqrt {x - 2}  + {{{x^2}} \over {2\sqrt {x - 2} }}} \right) = {{x(5x - 8)} \over {\sqrt {x - 2} }} > 0$ với mọi $x \in \left[ {2; + \infty } \right).$

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {2; + \infty } \right).$

b) Hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {2;3} \right],f(2) = 0,f(3) = 18$ vì 0 < 11 < 18 nên theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực.

$c \in \left( {2;3} \right)$ sao cho f(c)= 11. Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho. Vì hàm số f đồng biến trên $\left[ {2; + \infty } \right)$ nên c là nghiệm duy nhất của phương trình.