Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 7 trang 55 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho hình chóp...

Bài 7 trang 55 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD...

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD . Bài 7 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Bài 1. Mặt cầu khối cầu

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại HSH là đường cao của hình chóp đã cho.

1) Chứng minh rằng bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCD, S.HDA là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

2) Gọi H1, H2, H3, H4 là hình chiếu của H lần lượt trên AB, BC, CD, DA . Chứng minh rằng hình chóp S. H1H2H3H4 có mặt cầu ngoại tiếp. Tính diện tích của thiết diện của mặt cầu ấy khi cắt bởi mp(ABCD) nếu biết H1H3 =a,^BAC=α,^BDC=β

1)

Gọi I1 là trung điểm của ABO1 là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABH thì I1O1//SHI1O1=12SH.

Tương tự như trên, nếu I2,I3,I4 thứ tự là trung điểm của BC, CD, DA và O2,O3,O4 thứ tự là tâm của mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HBC, S.HCD, S.HDA thì

 I2O2=12SH,I3O3=12SH,I4O4=12SH,

I2O2,I3O3,I4O4 cùng song song với SH.

Dễ thấy I1I2//O1O2I1I2//AC,

             I2I3//O2O3I2I3//BD,

             I3I4//O3O4I3I4//AC,

             I4I1//O4O1I4I1//BD.

Kết hợp với ACBD, ta có O1O2O3O4 là hình chữ nhật.

Advertisements (Quảng cáo)

2)

Dễ thấy  ^HH1H2=^HBH2=^HBC,

              ^HH1H4=^HAH4=^HAD,

              ^HH3H2=^HCH2=^HCB,

              ^HH3H4=^HDH4=^HDA

Từ đó

^HH1H2+^HH1H4+^HH3H2+^HH3H4

=^HBC+^HCB+^HAD+^HDA=1800

Vậy H1H2H3H4 là tứ giác nội tiếp đường tròn. Từ đó hình chóp S. H1H2H3H4 có mặt cầu ngoại tiếp.

Diện tích thiết diện của hình cầu đó và mặt phẳng (ABCD) là diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác H1H2H3H4.

^BAC=α,^BDC=β  nên ^H1H4H3=α+β. Khi ấy H1H3sin(α+β)=2R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác H1H2H3H4), từ đó R=a2sin(α+β).

Vậy diện tích hình thu được là

4πR2=πa2sin2(α+β).

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)