Câu 1.36 trang 17 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số...

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = {{x + 1} \over {2x + 1}}$                             

b) $y = 4 + {1 \over {x - 2}}$ 

c) $y = {{\sqrt {{x^2} + x} } \over {x - 1}}$                          

d) $y = {{\sqrt {x + 3} } \over {x + 1}}$

Giải

a) Đường thẳng $x = -{1 \over 2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi  $x \to {\left( { - {1 \over 2}} \right)^ - }$ và $x \to {\left( { - {1 \over 2}} \right)^ + }$. Đường thẳng $y = {1 \over 2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \to  + \infty$ và $x \to  - \infty$)

b) Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x \to {2^ - }$ và $x \to {2^ + }$). Đường thẳng y = 4 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi  $x \to  + \infty$ và $x \to  - \infty$)

c) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 - {1 \over x}}} = 1$                            

               $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} } \over {1 - {1 \over x}}} =  - 1$                           

Nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \to  + \infty$) và đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \to  - \infty$) (h.1.8)        

d) Đường thẳng x = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \to {( - 1)^ - }$ và $x \to {( - 1)^ + }$).

Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \to  + \infty$) (h1.1.9).

Baitapsgk.com