Câu 1.37 trang 17 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:...

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = 2x - 1 + {1 \over x}$                        b) $y = {{{x^2} + 2x} \over {x - 3}}$

c) $y = x - 3 + {1 \over {2{{(x - 1)}^2}}}$                 d) $y = {{2{x^2} + {x^2}} \over {{x^2} + 1}}$

Giải

a) Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi  $x \to {0^ + }$ và $x \to {0^ - }$.

Đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x \to  + \infty$ và $x \to  - \infty$)

b) Đường thẳng  x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x \to {3^ - }$ và $x \to {3^ + }$).

Đường thẳng  y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi  $x \to  + \infty$ và $x \to  - \infty$)

c) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y =  + \infty$ nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x \to {1^ - }$ và $x \to {1^ + }$). Vì

$y - (x - 3) = {1 \over {2{{(x - 1)}^2}}} \to 0$ khi $x \to  + \infty$ và $x \to  - \infty$

nên đường thẳng y = x – 3 là tiệm cân xiên của đồ thị (khi $x \to  + \infty$ và $x \to  - \infty$) (h.1.10).

d) Đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x \to  + \infty$ và $x \to  - \infty$)

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng

$y = 2x - 1 + {{1 - 2x} \over {{x^2} + 1}}$

Vì hàm số xác định trên R nên đồ thị của nó không có tiệm cận đứng.