Câu 1.24 trang 14 SBT Giải Tích Nâng cao lớp 12: Trong các tám giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy...

Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất.

Giải

 Gọi x, y là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 10 cm, 0 < x < 10 và 0 < y < 10.

Diện tích tam giác là $S = {1 \over 2}xy(c{m^2})$

Ta có ${x^2} + {y^2} = 100$

S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ${x^2}{y^2} = {x^2}(100 - {x^2})$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài toán quy về: Tìm $x \in \left( {0;10} \right)$ sao cho tại đó hàm số $z = {x^2}(100 - {x^2}),x \in \left( {0;10} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta tìm được $x = y = 5\sqrt 2$

Trong các tam giác vuông đó, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất. Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là $x = y = 5\sqrt 2$ (cm)