Câu 4.32 trang 182 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức...

a) Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức ${\left( {{{3 - \sqrt 3 i} \over {\sqrt 3  - 3i}}} \right)^n}$ là số thực, là số ảo ?

b) Cũng câu hỏi tương tự cho số phức ${\left( {{{7 + i} \over {4 - 3i}}} \right)^n}$

Giải      

a) ${{3 - \sqrt 3 i} \over {\sqrt 3  - 3i}} = {{\sqrt 3  + i} \over 2} = c{\rm{os}}{\pi  \over 6} + isin{\pi  \over 6}$ nên với số n nguyên dương, ta có:

                                ${\left( {{{3 - \sqrt 3 i} \over {\sqrt 3  - 3i}}} \right)^n} = c{\rm{os}}{{n\pi } \over 6} + isin{{n\pi } \over 6}$

Số đó là số thực $\Leftrightarrow \sin {{n\pi } \over 6} = 0 \Leftrightarrow n = 6k$ (k là số nguyên dương)

Số đó là số ảo $\Leftrightarrow c{\rm{os}}{{n\pi } \over 6} = 0 \Leftrightarrow {{n\pi } \over 6} = {\pi  \over 2} + k\pi  \Leftrightarrow n = 6k + 3$ (k là số nguyên không âm).

b) ${{7 + i} \over {4 - 3i}} = 1 + i = \sqrt 2 \left( {{\rm{cos}}{\pi  \over 4} + isin{\pi  \over 4}} \right)$ nên với số n nguyên dương, ta có:

${\left( {{{7 + i} \over {4 - 3i}}} \right)^n} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^n}\left( {{\rm{cos}}{n\pi  \over 4} + isin{n\pi  \over 4}} \right)$

Số đó là số thực $\Leftrightarrow \sin {{n\pi } \over 4} = 0 \Leftrightarrow n = 4k$ (k nguyên dương)

Số đó là số ảo $\Leftrightarrow \cos {{n\pi } \over 4} = 0 \Leftrightarrow n = 4k+2$ (k là số nguyên không âm)