Câu 4.34 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao: Biểu diễn hình học các số...

Biểu diễn hình học các số $5 + i$  và $239 + i$ rồi chứng minh rằng nếu các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện $0 < a < {\pi  \over 2},0 < b < {\pi  \over 2}$ và ${\mathop{\rm tana}\nolimits}  = {1 \over 5},{\mathop{\rm tanb}\nolimits}  = {1 \over {239}}$ thì $4a - b = {\pi  \over 4}$

Giải

Điểm M để biểu diễn số $5 + i$, điểm N biểu diễn số $239 + i$ thì $\tan \left( {Ox,OM} \right) = {1 \over 5} = \tan a$, tan(${\rm{O}}x,ON$ ) $= {1 \over {239}} = \tan b$.

Do M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ $Oxy$, còn $0 < a < {\pi  \over 2}$, $0 < b < {\pi  \over 2}$ nên một acgumen của $5 + i$ là $a$, một acgumen của $239 + i$ là $b$ . Từ đó một acgumen của ${{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}}$ là $4a - b$. 

Ta có    ${{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = {{476 + 480i} \over {239 + i}}$, mà $\left( {239 + i} \right)\left( {1 + i} \right) = 238 + 240i$

Nên   ${{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = 2(1 + i)$

Số    $2(1 + i)$ có một acgumen bằng ${\pi  \over 4}$

Vậy $4a - b = {\pi  \over 4} + k2\pi$ $(k \in Z)$.

Dễ thấy $0 < b < a < {\pi  \over 4}$, suy ra $4a - b = {\pi  \over 4}$.