Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ) Câu 4.35 trang 182 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho...

Câu 4.35 trang 182 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ)....

Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số . Câu 4.35 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Bài 3. Dạng lượng giác của số phức. Ứng dụng

Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số \({z_1},{z_0}\)  thì \({z_0}^2 + {z_1}^2 = {z_0}{z_1}\)

Giải

Tam giác OAB là tam giác đều khi và chỉ khi OA = OB và góc ( OA, OB ) bằng \({\pi  \over 3}\) hoặc \( - {\pi  \over 3}\) tức là khi và chỉ khi \({z_0} \ne 0\) và nếu đặt \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(\left| \alpha  \right| = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi  \over 3}\) hoặc \( - {\pi  \over 3}\).

Advertisements (Quảng cáo)

Mặt khác, khi \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Leftrightarrow z_0^2 + {\alpha ^2}z_0^2 = \alpha z_0^2 \Leftrightarrow 1 + {\alpha ^2} = \alpha \)

\( \Leftrightarrow {\alpha ^2} - \alpha  + 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha  = {{1 \pm \sqrt 3 i} \over 2} \Leftrightarrow \left\lfloor \alpha  \right\rfloor  = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi  \over 3}\) hoặc \( - {\pi  \over 3}\).

Vậy ta đã chứng minh : OAB là tam giác đều khi và chỉ khi \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}\) ( \(z \ne 0\)).

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: