Câu 4.35 trang 182 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ)....

Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số ${z_1},{z_0}$  thì ${z_0}^2 + {z_1}^2 = {z_0}{z_1}$

Giải

Tam giác OAB là tam giác đều khi và chỉ khi OA = OB và góc ( OA, OB ) bằng ${\pi  \over 3}$ hoặc $- {\pi  \over 3}$ tức là khi và chỉ khi ${z_0} \ne 0$ và nếu đặt ${{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha$ thì $\left| \alpha  \right| = 1$ và một acgumen của $\alpha$ là ${\pi  \over 3}$ hoặc $- {\pi  \over 3}$.

Mặt khác, khi ${{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha$ thì $z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Leftrightarrow z_0^2 + {\alpha ^2}z_0^2 = \alpha z_0^2 \Leftrightarrow 1 + {\alpha ^2} = \alpha$

$\Leftrightarrow {\alpha ^2} - \alpha  + 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha  = {{1 \pm \sqrt 3 i} \over 2} \Leftrightarrow \left\lfloor \alpha  \right\rfloor  = 1$ và một acgumen của $\alpha$ là ${\pi  \over 3}$ hoặc $- {\pi  \over 3}$.

Vậy ta đã chứng minh : OAB là tam giác đều khi và chỉ khi $z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}$ ( $z \ne 0$).