Bài 1.17 trang 16 Sách bài tập Giải tích 12: Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương...

Xác định m để hàm số: $y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5$  có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Hướng dẫn làm bài:

 $y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5$

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình  y’ = 0  có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có: 

Xét  y’ = 0, ta có: $y’ = 3{x^2} - 2mx + (m - {2 \over 3})$

                       ∆’ > 0  khi m < 1 hoặc m > 2                    (*)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

$y'(1) = 3 - 2m + m - {2 \over 3} = 0 <  =  > m = {7 \over 3}$ , thỏa mãn điều kiện  (*)

Với $m = {7 \over 3}$ thì hàm số đã cho trở thành:

$y = {x^3} - {7 \over 3}{x^2} + {5 \over 3}x + 5$           

Ta có:   

$\eqalign{ & y’ = 3{x^2} - {{14} \over 3}x + {5 \over 3} \cr & y” = 6x - {{14} \over 3} \cr}$        

Vì $y”(1) = 6 - {{14} \over 3} > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và  ${y_{CT}} = {y_{\left( 1 \right)}} = {{16} \over 3}.$