Xác định m để hàm số: \(y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5\) có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.
Hướng dẫn làm bài:
\(y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5\)
Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Ta có:
Xét y’ = 0, ta có: \(y’ = 3{x^2} - 2mx + (m - {2 \over 3})\)
∆’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (*)
Advertisements (Quảng cáo)
Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì
\(y'(1) = 3 - 2m + m - {2 \over 3} = 0 < = > m = {7 \over 3}\) , thỏa mãn điều kiện (*)
Với \(m = {7 \over 3}\) thì hàm số đã cho trở thành:
\(y = {x^3} - {7 \over 3}{x^2} + {5 \over 3}x + 5\)
Ta có:
\(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} - {{14} \over 3}x + {5 \over 3} \cr
& y” = 6x - {{14} \over 3} \cr} \)
Vì \(y”(1) = 6 - {{14} \over 3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}} = {y_{\left( 1 \right)}} = {{16} \over 3}.\)