Bài 1.18 trang 16 SBT Giải tích 12: Chứng minh rằng hàm số sau không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực...

Chứng minh rằng hàm số: 

$f(x) = \left\{ \matrix{ - 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr \sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.$                                    

Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số:

$f(x) = \left\{ \matrix{ - 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr  \sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.$         

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr}$            

Mặt khác, với  x < 0  thì $y’ = {1 \over 2}\cos {x \over 2}$ , với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 0.