Bài 1.34 trang 33 SBT Giải tích 12: Tìm m để hàm số:...

Tìm m để hàm số

a) $y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2$  đạt cực tiểu tại x = 1

b) $y =  - {1 \over 3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1$  đạt cực đại tại x = -1;

Hướng dẫn làm bài:

a)

$\eqalign{ & y’ = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m \cr & y’ = 0 \Leftrightarrow  3{x^2} + 2(m + 3)x + m = 0 \cr}$

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

$y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0\Leftrightarrow  m =  - 3$   

Khi đó, 

$\eqalign{ & y’ = 3{x^2} - 3 \cr & y” = 6x;y”(1) = 6 > 0 \cr}$             

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3

b)

$\eqalign{ & y’ = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3 \cr & y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3 \cr & = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4 \cr}$     

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

$\eqalign{ & y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow  {(m + 1)^2} = 4 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 3 \hfill \cr m = - 1 \hfill \cr} \right. \cr}$

Với m  = -3 ta có y’ = 9x² + 12x + 3

                  $\Rightarrow y’’ = 18x + 12$

                  $\Rightarrow y’’(-1) = -18 + 12 = -6  < 0$

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

$y’ =  - 7{x^2} - 4x + 3$

$\Rightarrow y” =  - 14x - 4$

$\Rightarrow  y”( - 1) = 10 > 0$   

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.