Chứng minh rằng hàm số: (y = {x^3} – 3(m – 1){x^2} – 3(m + 3)x – 5) luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R. Bài 1.37 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12 – Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Chứng minh rằng hàm số: \(y = {x^3} – 3(m – 1){x^2} – 3(m + 3)x – 5\) luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R
Hướng dẫn làm bài:
\(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 6(m – 1)x – 3(m + 3) \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2(m – 1)x – m – 3 = 0 \cr} \)
Hàm số cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {(m – 1)^2} + m + 3 = {m^2} – m + 4 \ge 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta thấy tam thức \(\Delta ‘ = {m^2} – m + 4\) luôn dương với mọi \(m \in R\) vì \(\delta = 1 – 16 = – 15 < 0\) và a = 1 > 0.
Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.