Bài 1.35 trang 33 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm m để hàm số để:...

Tìm m để hàm số

a) $y = {x^4} + ({m^2} - 4){x^2} + 5$ có 3 cực trị

b) $y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3$ có đúng một cực trị.

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt , tức là :

$y’ = 4{x^3} + 2({m^2} - 4)x = 2x(2{x^2} + {m^2} - 4) = 0$  có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {x^2} + {m^2} - 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2$

Vậy với  - 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.

b) $y’ = 4(m - 1){x^3} - 2mx = 2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{]}}$

Hàm số có đúng một cực trị khi y’ = 0 có đúng một nghiệm, tức là:

$2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{] = 0}}$  chỉ có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc ${m \over {2(m - 1)}} \le 0 \Leftrightarrow  0 \le m \le 1$

Vậy với $0 \le m \le 1$ hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.