Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) \(y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\), x ∈ [0; 2π].
b) \(y = x + 2\cos x\) , x ∈ \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\)
c) \(y = \sin {1 \over x}\) , (x > 0)
Hướng dẫn làm bài
a) \(y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\), x ∈ [0; 2π].
\(y’ = 1 - c{\rm{osx }}\) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π]
Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.
Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].
b) \(y = x + 2\cos x\) , x ∈ \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\)
\(y’ = 1 - 2\sin x\) < 0 với x ∈ \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\)
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(({\pi \over 6};{{5\pi } \over 6})\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) Xét hàm số \(y = \sin {1 \over x}\) với x > 0.
\(y’ = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}\)
Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +∞):
\({1 \over {{x^2}}}( - \cos {1 \over x}) > 0\) ⟺ \(\cos {1 \over x}\) < 0
⟺ \({\pi \over 2}(1 + 4k) < {1 \over x} < {\pi \over 2}(3 + 4k)\) ,k = 0, 1, 2 ….
⟺ \({2 \over {\pi (1 + 4k)}} > x > {2 \over {\pi (3 + 4k)}}\) , k = 0, 1, 2 ……..
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng
\(...({2 \over {(4k + 3)\pi }};{2 \over {(4k + 1)\pi }}),({2 \over {(4k - 1)\pi }};{2 \over {(4k - 3)\pi }})....\) \(({2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}),({2 \over {3\pi }};{2 \over \pi })\)
Và nghịch biến trên các khoảng
……, \(({2 \over {(4k + 1)\pi }};{2 \over {(4k - 1)\pi }}),({2 \over {5\pi }};{2 \over {3\pi }})....({2 \over \pi }; + \infty )\)
với k = 0, 1, 2 …