Cho hàm số \(y = 2{x^4} - 4{x^2}\) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Với giá trị nào của m, phương trình \({x^2}|{x^2} - 2| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
(Đề thi đại học năm 2009; khối B)
Hướng dẫn làm bài:
a) Tập xác định : D = R
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 0 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và \((1; + \infty )\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 1);(0;1)\)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 0
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm 1;{y_{CT}} = - 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)
\(y” = 24{x^2} - 8;y” = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {1 \over 3} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 3 } \over 3}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đồ thị có hai điểm uốn: \({I_1}( - {{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9});\,\,{I_2}({{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9})\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục hoành tại:
b) Ta có: \({x^2}|{x^2} - 2| = m\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2{x^2}|{x^2} - 2| = 2m \cr
& \Leftrightarrow |2{x^2}({x^2} - 2)| = 2m \cr
& \Leftrightarrow |2{x^4} - 4{x^2}| = 2m \cr} \)
Từ đồ thị hàm số y = 2x4 – 4x2 có thể suy ra đồ thị của hàm số \(y = |2{x^4} - 4{x^2}|\) như sau:
Phương trình : \(|2{x^4} - 4{x^2}| = 2m\) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m có 6 nghiệm phân biệt với đồ thị (H)
\(⇔ 0 < 2m < 2\)
\(⇔ 0 < m < 1\)