Bài 1.42 trang 35 SBT Giải tích 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Cho hàm số   $y = 2{x^4} - 4{x^2}$                 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Với giá trị nào của m, phương trình ${x^2}|{x^2} - 2| = m$ có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

(Đề thi đại học năm 2009; khối B)

Hướng dẫn làm bài:

a) Tập xác định : D = R

$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = 0 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right.$                

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và $(1; + \infty )$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( - \infty ; - 1);(0;1)$

Hàm số đạt cực đại tại  x = 0; y_CĐ = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại $x =  \pm 1;{y_{CT}} =  - 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty$                    

 $y” = 24{x^2} - 8;y” = 0 \Leftrightarrow  {x^2} = {1 \over 3} \Leftrightarrow  x =  \pm {{\sqrt 3 } \over 3}$

Đồ thị có hai điểm uốn: ${I_1}( - {{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9});\,\,{I_2}({{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9})$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại: 

b) Ta có: ${x^2}|{x^2} - 2| = m$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow 2{x^2}|{x^2} - 2| = 2m \cr & \Leftrightarrow |2{x^2}({x^2} - 2)| = 2m \cr & \Leftrightarrow |2{x^4} - 4{x^2}| = 2m \cr}$

Từ đồ thị hàm số y = 2x⁴ – 4x² có thể suy ra đồ thị của hàm số $y = |2{x^4} - 4{x^2}|$ như sau:

Phương trình : $|2{x^4} - 4{x^2}| = 2m$  có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường  thẳng y = 2m có 6 nghiệm phân biệt với đồ thị (H)

$⇔ 0 < 2m < 2$

$⇔ 0 < m < 1$