Bài 1.44 trang 35 SBT Giải tích 12: Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho có ba điểm cực...

Cho hàm số:  y = x⁴ + mx² – m – 5 .

a) Xác định m để đồ thị (C_m) của hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C_-2) (ứng với m = -2) song song với đường thẳng y = 2x – 1.

Hướng dẫn làm bài:

a) y = x⁴ + mx² – m – 5 ;

    y’ = 4x³ + 2mx = 2x(2x² + m)

(C_m) có ba điểm cực trị khi y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là:

                  2x(2x² + m) = 0  có ba nghiệm phân biệt

⟺ 2x² + m = 0  có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⟺ m < 0.

b) Đường (C_-2) có phương trình là y = x⁴ – 2x² – 3 ;

                           y’ = 4x³ – 4x

Tiếp tuyến của  (C_-2) song song với đường thẳng  y = 24x – 1 và đi qua điểm trên đồ thị có hoành độ thỏa mãn:  

4x³ – 4x = 24

⟺  x³ – x – 6 = 0  ⟺  (x – 2)(x² + 2x + 3 ) = 0 ⟺  x = 2

Vậy phương trình của tiếp tuyến phải tìm là  y – y(2) = 24(x – 2)

⟺ y = 24x – 43.