Bài 3.33 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các...

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a)  $d:{{x + 1} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 3} \over 3}$ và $d’:{{x - 1} \over 3} = {{y - 5} \over 2} = {{z - 4} \over 2}$

b)$d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 2 - t} \cr} } \right.$  và $d’:\left\{ {\matrix{{x = 9 + 2t’} \cr {y = 8 + 2t’} \cr {z = 10 - 2t’} \cr} } \right.$

c) $d:\left\{ {\matrix{{x = - t} \cr {y = 3t} \cr {z = - 1 - 2t} \cr} } \right.$  và $d’:\left\{ {\matrix{{x = 0} \cr {y = 9} \cr {z = 5t’} \cr} } \right.$

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  $\overrightarrow {{a_d}}  = (1;2;3)$ và $\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (3;2;2)$

Suy ra $\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d’}}}  = ( - 2;7; - 4)$

Ta có ${M_0}( - 1;1; - 2) \in d,{M_0}'(1;5;4) \in {\rm{d’ \Rightarrow  }}\overrightarrow {{M_0}{M_0}’}  = (2;4;6)$

Ta có $\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}’}  =  - 4 + 28 - 24 = 0$ . Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác phương, nên d và d’ cắt nhau.

b) Ta có $\overrightarrow {{a_d}}  = (1;1; - 1)$  và $\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (2;2; - 2).{M_0}(0;1;2) \in d$

Vì $\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {{a_{d’}}} = 2\overrightarrow {{a_d}} } \cr {{M_0} \notin d’} \cr} } \right.$  (tọa độ M₀ không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.

c) d có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{a_d}}  = ( - 1;3; - 2)$

d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{a_{d’}}}  = (0;0;5)$

Gọi $\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_d}}  \wedge \overrightarrow {{a_{d’}}}  = (15;5;0) \ne \overrightarrow 0$

Ta có ${M_0}(0;0; - 1) \in d$

$M{‘_0}(0;9;0) \in d’ \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{‘_0}}  = (0;9;1),\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}}  = 45 \ne 0$

Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.