Bài 3.37 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Cho đường thẳng và mặt phẳng 2x – 2y + z + 3 =...

Cho đường thẳng  $\Delta :{{x + 3} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 1} \over 2}$   và mặt phẳng $(\alpha )$ : 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng  $\Delta$ song song với $(\alpha )$.

b) Tính khoảng cách giữa $\Delta$  và $(\alpha )$

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  $\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (2;3;2)$  và $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; - 2;1)$

       $\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 4 - 6 + 2 = 0$  (1)

Xét  điểm  M₀(-3; -1; -1)  thuộc $\Delta$  , ta thấy tọa độ M₀ không thỏa mãn phương trình của $(\alpha )$ . Vậy  ${M_0} \notin (\alpha )$        (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra  $\Delta //(\alpha )$    

b) $d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha )) = {{|2.( - 3) - 2.( - 1) + ( - 1) + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}$

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta$  và mặt phẳng $(\alpha )$ là ${2 \over 3}$.