Bài 3.38 trang 130 sách bài tập – Hình học 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng d và d' trong các...

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng $\Delta$ và $\Delta ‘$ trong các trường hợp sau:

a)$\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = - 1 - t} \cr {z = 1} \cr} } \right.$  và  $\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = 2 - 3t’} \cr {y = 2 + 3t’} \cr {z = 3t’} \cr} } \right.$

b)$\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.$  và    $\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 - 3t’} \cr {z = - 3t’} \cr} } \right.$

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $\Delta$ và song song với $\Delta ‘$. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên $(\alpha )$ là:   $\overrightarrow a  = (1; - 1;0)$ và $\overrightarrow a ‘ = ( - 1;1;1)$. Suy ra $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = ( - 1; - 1;0)$

$(\alpha )$ đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc $\Delta$ và có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow {{n_{\alpha ‘}}}  = (1;1;0)$

Vậy phưong trình của mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng  x – 1 + y + 1=   hay x + y = 0

Ta có:  M₂((2; 2; 0) thuộc đường thẳng $\Delta ‘$

      $d(\Delta ,\Delta ‘) = d({M_2},(\alpha )) = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2$  

b) Hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta ‘$ có phương trình là:

$\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.$     và $\Delta ‘:\left\{ {\matrix{{x = t’} \cr {y = 2 - 3t’} \cr {z = - 3t’} \cr} } \right.$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $\Delta$ và song song với $\Delta ‘$ là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên $\Delta ‘$ .

Ta có $d(\Delta ,\Delta ‘) = d(M’,(\alpha )) = {{|5.(2) - 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $\Delta$ và  $\Delta ‘$  là ${{12} \over {\sqrt {110} }}$.