Bài 3.40 trang 130 sách bài tập – Hình học 12: Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng...

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng $\Delta :{{x - 1} \over 2} = {{y + 1} \over { - 1}} = {z \over 2}$

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng $\Delta$;

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng $\Delta$ .

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình tham số của $\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = - 1 - t} \cr {z = 2t} \cr} } \right.$

Xét điểm $H(1 + 2t; - 1 - t;2t) \in \Delta$

Ta có $\overrightarrow {MH}  = (2t - 1; - t;2t - 1)$

     $\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (2; - 1;2)$

H là hình chiếu vuông góc của M trên $\Delta \Leftrightarrow  \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_\Delta }}  = 0$

$\Leftrightarrow 2(2t - 1) + t + 2(2t - 1) = 0 \Leftrightarrow t = {4 \over 9}$

Ta suy ra tọa độ điểm $H({{17} \over 9};{{ - 13} \over 9};{8 \over 9})$

b) H là trung điểm của MM’, suy ra x_M’ + x_M = 2x_H

Suy ra ${x_{M’}} = 2{x_H} - {x_M} = {{34} \over 9} - 2 = {{16} \over 9}$

Tương tự, ta được ${y_{M’}} = 2{y_H} - {y_M} = {{ - 26} \over 9} + 1 = {{ - 17} \over 9};$

${z_{M’}} = 2{z_H} - {z_M} = {{16} \over 9} - 1 = {7 \over 9}$

Vậy  $M'({{16} \over 9};{{ - 17} \over 9};{7 \over 9})$