Bài 3.44 trang 131 sách bài tập – Hình học 12: Cho mặt phẳng 2x + y +z – 1 = 0 và đường thẳng d: Gọi M...

Cho mặt phẳng $(\alpha )$ : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng d: ${{x - 1} \over 2} = {y \over 1} = {{z + 2} \over { - 3}}$

Gọi M là giao điểm của d và $(\alpha )$ , hãy viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ đi qua M vuông góc với d và nằm trong $(\alpha )$

Hướng dẫn làm bài

Phương trình tham số của đường thẳng d: $\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = t} \cr {z = - 2 - 3t} \cr} } \right.$

Xét phương trình:

$2(1 + 2t) + (t) + ( - 2 – 3t) – 1 = 0  \Leftrightarrow 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow  t = {1 \over 2}$

Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng $(\alpha )$ tại điểm $M(2;{1 \over 2}; - {7 \over 2})$.

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2;1;1)$   và $\overrightarrow {{a_d}}  = (2;1; - 3)$.

Gọi $\overrightarrow {{a_\Delta }}$   là vecto pháp tuyến của $\Delta$, ta có $\overrightarrow {{a_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }}$  và $\overrightarrow {{a_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{a_d}}$.

Suy ra $\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  \wedge \overrightarrow {{n_d}}  = ( - 4;8;0)$  hay $\overrightarrow {{a_\Delta }}  = (1; - 2;0)$

Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là  $\left\{ {\matrix{{x = 2 + t} \cr {y = {1 \over 2} - 2t} \cr {z = - {7 \over 2}} \cr} } \right.$