Câu 4.38 trang 211 sách bài tập - Giải tích 12: Tìm số phức z, biết:...

Tìm số phức z, biết:

a)  $\bar z = {z^3}$                                   b) $|z| + z = 3 + 4i$

Hướng dẫn làm bài

a) Ta có $z\bar z = |z{|^2}$   nên từ  $\bar z = {z^3} \Rightarrow  |z{|^2} = {z^4}$

Đặt  z  = a+ bi  , suy ra:

${a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} - {b^2})i = {a^2} + {b^2}$              (*)

Do đó, ta có:     $4ab({a^2} - {b^2}) = 0$                         (**)

Từ (**) suy ra các trường hợp sau:

+) a = b = 0 ⟹ z = 0

+) $a = 0,b \ne 0$ :  Thay vào (*), ta có  ${b^4} = {b^2} \Rightarrow  b =  \pm 1 \Rightarrow  z =  \pm i$

+) $b = 0,a \ne 0$ : Tương tự, ta có    $a =  \pm 1 \Rightarrow  z =  \pm 1$

+) $a \ne 0,b \ne 0 \Rightarrow  {a^2} - {b^2} = 0 \Rightarrow  {a^2} = {b^2}$  , thay vào  (*) , ta có:

2a²(2a² + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì $a \ne 0$ )

b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i  suy ra

$\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a + bi = 3 + 4i \Rightarrow  b = 4$ và $\sqrt {{a^2} + 16}  + a = 3$

$\Rightarrow  {a^2} + 16 = {(3 - a)^2} = 9 - 6a + {a^2}$

$\Rightarrow  6a =  - 7 \Rightarrow  a =  - {7 \over 6}$ 

Vậy  $z =  - {7 \over 6} + 4i$