a) Trong mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức ω. Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành biểu diễn số phức z’ sao cho z′−ω=i(z−ω) là phép quay tâm A góc quay π2
b) Giả sử ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số α,β,γ. Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông dựng bên ngoài ABC trên các cạnh AB, AC và gọi N là trung điểm của BC. Tìm các số phức biểu diễn bởi các vectơ →NQ,→NP rồi chứng minh NQP là tam giác vuông cân.
Giải
a) M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’.
Khi M trùng với A tức là z=ω thì z′=ω nên A biến thành chính nó. Khi M không trung với A thì |→AM′|=|z′−ω|=|i||z−ω|=|z−ω|=|→AM| và một acgumen của z′−ωz−ω=i là số đo góc lượng giác (AM,AM’) nên góc này là π2. Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay π2
b) (h.4.15) Giả sử ta đi dọc chu vi tam giác ABC theo ngược chiều quay kim đồng hồ. Khi đó Q là ảnh của C qua phép quay tâm là trung điểm của CA góc quay π2 nên nếu kí hiệu q là số phức biểu diễn bởi điểm Q thì theo câu a) ta có
q−γ+α2=i(γ−γ+α2)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ đó
q=12[(1+i)γ+(1−i)α]
Đổi α thành β, γ thành α, ta suy ra p biểu diễn bởi P là
p=12[(1+i)α+(1−i)β]
Vậy →NP biểu diễn số phức p−12(β+γ)=12[(1+i)α−iβ−γ] và →NQ biểu diễn số phức
q−12(β+γ)=12[(1−i)α−β+iγ]. Rõ ràng i,12[(1−i)α−β+iγ]=12[(1+i)α−iβ−γ], nên suy ra NQ=NP và →NQ,→NP vuông góc (h.4.15)
