Câu 4.53 trang 184 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Viết dạng phương trình lượng giác của các số...

Viết dạng phương trình lượng giác của các số phức

a) ${{1 - \left( {{\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right)} \over {1 + {\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi }}$                                                         

b) $\left[ {1 - \left( {{\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right)} \right]\left( {1 + {\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right)$

Giải

a) Do ${{1 - \left( {{\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right)} \over {1 + {\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi }} =  - i\tan {\varphi  \over 2}$ nên:

Khi $\tan {\varphi  \over 2} = 0$, số đó không có dạng lượng giác xác định.

Khi  $\tan {\varphi  \over 2} > 0$, dạng lượng giác của nó là

$\left( {  \tan {\varphi  \over 2}} \right)\left( {{\rm{cos}}{-\pi  \over 2} + isin{-\pi  \over 2}} \right)$

Khi  $\tan {\varphi  \over 2} <0$, dạng lượng giác của nó là

$\left( { - \tan {\varphi  \over 2}} \right)\left( {{\rm{cos}}{\pi  \over 2} + isin{\pi  \over 2}} \right)$

b) $\left( {1 - {\rm{cos}}\varphi  - isin\varphi } \right)\left( {1 + {\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right)$

$= 2\sin \varphi \left( {\sin \varphi  - i\cos \varphi } \right)$

$= 2\sin \varphi \left[ {{\rm{cos}}\left( {\varphi  - {\pi  \over 2}} \right) + isin\left( {\varphi  - {\pi  \over 2}} \right)} \right]$

Khi $\sin \varphi  = 0,$ nó không có dạng lượng giác xác định

Khi $\sin \varphi  > 0,$ dạng trên là dạng lượng giác của nó

Khi $\sin \varphi  < 0,$ dạng lượng giác của nó là

$\left( { - 2\sin \varphi } \right)\left[ {{\rm{cos}}\left( {\varphi  + {\pi  \over 2}} \right) + isin\left( {\varphi  + {\pi  \over 2}} \right)} \right]$