Câu 4.50 trang 184 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z...

Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho ${{z + i} \over {\bar z + i}}$ là số thực.

Giải

Với $z \ne i$ thì ${{z + i} \over {\overline  z + i}}$ là số thực khi và chỉ khi ${{z + i} \over {\overline z + i}} = {{\overline  z - i} \over {\bar z - i}}$ tức là khi và chỉ khi ${z^2} = {\bar z^2}$ mà ${z^2} - {\left( {\bar z} \right)^2} = \left( {z + \bar z} \right)\left( {z - \bar z} \right) = 0$ khi và chỉ khi $z = \bar z$ hoặc $z =  - \bar z$.

Vậy tập hợp cần tìm là tập hợp các điểm thuộc Ox và các điểm thuộc Oy khác điểm I (biểu diễn số i).