Trong mặt phẳng phức xét ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn đơn vị. A là điểm biểu diễn số 1 (giả sử đi dọc chu vi đa giác theo ngược chiều kim đồng hồ gặp các đỉnh kế tiếp B, C, D, E). Kí hiệu z1,z2,z3,z4 là các số phức theo thứ tự biểu diễn bởi các điểm B, C, D, E.
a) Chứng minh rằng 1,z1,z2,z3,z4 là các nghiệm của phương trình z5−1=0 và z1+1z1=2cos2π5
b) Viết z5−1=(z−1)(z4+z3+z2+z+1) rồi đưa phương trình z4+z3+z2+z+1=0 về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ w=z+1z. Từ đó suy ra cos2π5=−1+√54
Giải
a) z1=cos2π5+isin2π5,z2=cos4π5+isin4π5
z3=cos6π5+isin6π5,z4=cos8π5+isin8π5
Từ đó theo công thức Moa-vrơ, 1,z1,z2,z3,z4 là nghiệm các phương trình z5−1=0 (đó là tất cả các nghiệm vì phương trình có bậc 5).
z1+1z1=z1+ˉz1=2cos2π5
b) Với z≠0,
Advertisements (Quảng cáo)
z4+z3+z2+z+1=z2(z2+1z2+z+1z+1)
=z2((z+1z)2+(z+1z)−1)
=z2(w2+w−1), trong đó w=z+1z
Phương trình w2+w−1=0 có hai nghiệm là −1±√52
Vì z1,z2,z3,z4 là bốn nghiệm của phương trình z4+z3+z2+z+1=0 tức là nghiệm của phương trình:
(z+1z)2+(z+1z)−1=0 và z4=ˉz1=1z1,z3=ˉz2=1z2 nên z1+1z1,z2+1z2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình w2+w−1=0
Từ đó suy ra 2cos2π5=−1+√52 (còn 2cos4π5=−1−√52) để ý rằng cos2π5>0,cos4π5<0 (h.4.14)
