Bài 1 trang 24 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau...

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

a) $y = \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}}$

b) $y = \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}}$

c) $y = \frac{{5x}}{{3x - 7}}$

- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: $\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} - \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} - \infty$

- Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = m$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = m$

a) Xét $y = \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = 2$

Vậy đường thẳng x = $\frac{3}{2}$ và y = 2 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Xét $y = \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2 + \frac{7}{x}}}{{4 - \frac{3}{x}}} = - \frac{1}{2}$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2 + \frac{7}{x}}}{{4 - \frac{3}{x}}} = - \frac{1}{2}$

Vậy đường thẳng x = $\frac{3}{4}$ và y = $- \frac{1}{2}$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

c) Xét $y = \frac{{5x}}{{3x - 7}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{7}{3}} \right\}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ + }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ - }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{3 - \frac{7}{x}}} = \frac{5}{3}$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{{3 - \frac{7}{x}}} = \frac{5}{3}$

Vậy đường thẳng x = $\frac{7}{3}$ và y = $\frac{5}{3}$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số