Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y=3+1x
b) y=x−31−x
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
a) y=3+1x
Tập xác định: D=R∖{0}
- Chiều biến thiên:
Advertisements (Quảng cáo)
y′=−1x2<0∀x∈D nên hàm số nghịch biến trên D
- Tiệm cận:
lim nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (3 + \frac{1}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (3 + \frac{1}{x}) = - \infty nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Ta có: y = 0 \Leftrightarrow 3 + \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ( - \frac{1}{3}; 0)
b) y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}
Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\}
- Chiều biến thiên:
y’ = \frac{{ - 2}}{{{{(1 - x)}^2}}} < 0\forall x \in D nên hàm số nghịch biến trên D
- Tiệm cận:
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - 1\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - 1 nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - \infty nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao của đồ thị hàm số với trục Oy
Ta có: y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 3
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (3; 0)