Bài 4 trang 36 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau...

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}$

b) $y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}$

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

a) $y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\}$

• Chiều biến thiên:

$y’ = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Trên các khoảng ($- \infty$; 0), (2; $+ \infty$) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; 2) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Giới hạn và tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = - \infty$

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2} - x}} = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} - x) = - 1$ nên y = x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -2 nên (0;-2) là giao điểm của y với trục Oy

b) $y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{2}\}$

• Chiều biến thiên:

$y’ = 2 - \frac{2}{{{{(1 - 2x)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Trên các khoảng ($- \infty$; 0), (1; $+ \infty$) thì y’ > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; $\frac{1}{2}$) và ($\frac{1}{2}$; 1) thì y’ < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Giới hạn và tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = - \infty$

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2 - \frac{1}{{x - 2{x^2}}}) = 2;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}} - 2x) = 0$ nên y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = - \infty$ nên x = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0;-1) là giao điểm của y với trục Oy