Thực hành3
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 32
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y=x−1x
b) y=−x+2−1x+1
c) y=−x2−x+2x+1
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
a) y=x−1x
Tập xác định: D=R∖{0}
- Chiều biến thiên:
Advertisements (Quảng cáo)
y′=1+1x2≥0∀x∈D nên hàm số đồng biến trên D
- Giới hạn và tiệm cận:
lim
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (1 - \frac{1}{{{x^2}}}) = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - \frac{1}{x} - x) = 0 nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x - \frac{1}{x}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (x - \frac{1}{x}) = + \infty nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Ta có: y = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)
b) y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}
Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \{ - 1\}
- Chiều biến thiên:
y’ = - 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\end{array} \right.
Trên các khoảng ( - \infty ; -2), (0; + \infty ) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Giới hạn và tiệm cận:
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = + \infty
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2} + x}}) = - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} + x) = 2 nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = + \infty nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy
Ta có: y = 0 \Leftrightarrow - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}; 0) và (\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};0)