Giải mục 4 trang 30,31,32 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau...

Thực hành3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 32

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = x - \frac{1}{x}$

b) $y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}$

c) $y = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}}$

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

a) $y = x - \frac{1}{x}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\}$

• Chiều biến thiên:

$y’ = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 0\forall x \in D$ nên hàm số đồng biến trên D

• Giới hạn và tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - \frac{1}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - \frac{1}{x}) = - \infty$

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (1 - \frac{1}{{{x^2}}}) = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - \frac{1}{x} - x) = 0$ nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x - \frac{1}{x}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (x - \frac{1}{x}) = + \infty$ nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)

b) $y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ - 1\}$

• Chiều biến thiên:

$y’ = - 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\end{array} \right.$

Trên các khoảng ($- \infty$; -2), (0; $+ \infty$) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Giới hạn và tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = + \infty$

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2} + x}}) = - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} + x) = 2$ nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = + \infty$ nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ($\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$; 0) và ($\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$;0)