Bài 14 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Xác định các hệ số a,b, c sao cho hàm số đạt cực trị bằng 0...

Bài 14. Xác định các hệ số $a,b, c$ sao cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c$ đạt cực trị bằng $0$ tại điểm $x=-2$ và đồ thị của hàm số đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$.

$f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b$

$f$ đạt cực trị tại điểm $x=-2$ nên $f’\left( { - 2} \right) = 0$
$\Rightarrow$$\,12 - 4a + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$f\left( { - 2} \right) = 0 \Rightarrow  - 8 + 4a - 2b + c = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$ nên: $f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 1 + a + b + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 4a - b = 12 \hfill \cr 4a - 2b + c = 8 \hfill \cr a + b + c = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 3 \hfill \cr b = 0 \hfill \cr c = - 4 \hfill \cr} \right.$

Vậy $a=3, b=0, c=-4$.